Modelos de Crédito · Módulo 6 · 14 de julio de 2026

Modelos Estructurales: Merton y Sus Descendientes

El capital accionario es una opción call sobre los activos de la empresa. Toma esa frase en serio y obtienes probabilidades de incumplimiento a partir de precios de mercado — el modelo de Merton, el EDF de KMV, Black-Cox y Leland.

Los modelos del Módulo 3 encuentran el incumplimiento buscando patrones en razones contables. En 1974, Robert Merton propuso algo más ambicioso: un mecanismo. Una empresa incumple cuando el valor de lo que posee cae por debajo de lo que debe. Si puedes modelar los activos, la probabilidad de incumplimiento (default) deja de ser el output de una regresión y se convierte en un teorema.

El planteamiento

Toma la empresa más simple posible. Sus activos valen $V_t$ , evolucionando aleatoriamente en el tiempo. Toda su deuda es un solo bono cupón cero con valor nominal $D$ que vence en la fecha $T$ . Sin cupones, sin covenants, sin renegociación. Al vencimiento, pasa una de dos cosas:

$V_T > D$ — los accionistas pagan la deuda y se quedan con la diferencia $V_T - D$ .
$V_T \le D$ — los accionistas entregan las llaves. Tienen responsabilidad limitada, así que reciben cero, no un número negativo. Los acreedores recuperan $V_T$ .

Ahora mira el payoff del capital accionario (equity): $\max(V_T - D,\, 0)$ . Ese es exactamente el payoff de una opción call europea sobre $V$ con strike $D$ . Esto no es una analogía — es una identidad:

La fórmula

Supón que los activos siguen un movimiento browniano geométrico con volatilidad $\sigma_V$ , y precia el call con Black-Scholes (que se había publicado apenas un año antes):

E = V\,N(d_1) - D\,e^{-rT}N(d_2)

d_1 = \frac{\ln(V/D) + (r + \sigma_V^2/2)\,T}{\sigma_V\sqrt{T}}, \qquad d_2 = d_1 - \sigma_V\sqrt{T}

La cantidad que hay que mirar fijamente es $N(d_2)$ : la probabilidad riesgo-neutral de que $V_T > D$ , es decir, de que la empresa sobreviva. Lo cual significa:

\text{PD}^{\mathbb{Q}} = N(-d_2)

Desempaca $d_2$ y se lee como el checklist de un oficial de crédito: la PD sube con el apalancamiento ( $D/V$ ), sube con la volatilidad de los activos y depende del horizonte. El numerador de $d_2$ mide qué tan lejos están los activos por encima del punto de default; el denominador escala esa distancia en desviaciones estándar. Por eso a $d_2$ se le llama la distancia al default — “la empresa está a 2.3 sigmas de quebrar” es una frase que este modelo vuelve precisa.

Juega con la mecánica — observa qué le hacen el apalancamiento y la volatilidad, cada uno, a la PD, al valor del capital y al spread:

Explorador del Modelo de Merton

Una empresa con valor de activos V debe un único pago de deuda cupón cero D al plazo T. El incumplimiento ocurre si los activos valen menos que la deuda cuando esta vence.

Valor de los activos V 100 Volatilidad de los activos σ 25% Valor nominal de la deuda D 80 Plazo T (años) 1.0 Tasa libre de riesgo r 4.0%

PD riesgo-neutral –

Distancia al default (d₂) –

Spread crediticio –

Valor del capital E –

Valor de la deuda B = V − E –

Apalancamiento D·e⁻ʳᵀ / V –

Dos comportamientos que vale la pena reproducir a mano. Sube la volatilidad con todo lo demás fijo: el capital gana valor mientras la deuda lo pierde. Los accionistas de una empresa en dificultades aman el riesgo racionalmente — ellos son dueños del upside, los acreedores del downside. Este es el problema de sustitución de activos, y es la razón por la que los covenants de los créditos restringen qué pueden hacer los acreditados con el dinero. Segundo: empuja el apalancamiento hacia 100% y observa cómo el valor del capital se niega a llegar a cero. Incluso un capital profundamente hundido conserva valor de opción mientras queden tiempo y volatilidad. Por eso las acciones de empresas visiblemente insolventes siguen cotizando arriba de cero.

La PD riesgo-neutral no es la PD del mundo real

$N(-d_2)$ usa la tasa libre de riesgo $r$ como deriva de los activos, porque proviene de un argumento de valuación por arbitraje. La probabilidad real de incumplimiento reemplaza $r$ con el verdadero rendimiento esperado de los activos $\mu > r$ , dando un número más pequeño. Las PDs riesgo-neutrales son el insumo correcto para el pricing (incorporan la prima de riesgo); las PDs del mundo real son el insumo correcto para la gestión de riesgos y el capital. Confundirlas es una de las trampas clásicas de entrevista quant — y, de vez en cuando, un bug real de producción. Las PDs implícitas en spreads (que vienen en el Módulo 7) también son riesgo-neutrales, que es una de las razones por las que corren por encima de las tasas históricas de incumplimiento.

El problema que resolvió KMV

El modelo de Merton precia una empresa cuyo valor de activos y volatilidad de activos conoces. Nunca conoces ninguno de los dos — los activos no se negocian; el capital sí. KMV (Kealhofer, McQuown, Vasicek — después comprada por Moody’s) convirtió el modelo en un sistema de producción con tres movimientos:

1. Despeja $V$ y $\sigma_V$ del mercado accionario. Observas el valor del capital $E$ y la volatilidad del capital $\sigma_E$ . El modelo te da dos ecuaciones que los vinculan con los no observables:

E = V N(d_1) - De^{-rT}N(d_2), \qquad \sigma_E E = N(d_1)\,\sigma_V V

Dos ecuaciones, dos incógnitas — resuelve numéricamente. (El notebook descargable implementa exactamente esto con unas cuantas líneas de scipy.)

2. Fija el punto de default. Las empresas reales tienen una escalera de vencimientos, no un solo bono cupón cero, y no incumplen en el momento en que los activos en libros caen por debajo de la deuda total — la deuda de corto plazo fuerza el incumplimiento, la de largo plazo da espacio para respirar. El compromiso empírico de KMV: punto de default ≈ pasivos de corto plazo + la mitad de los pasivos de largo plazo.

3. No confíes en la distribución normal — mapea empíricamente. La cola gaussiana dice que una empresa a 4σ del default tiene una PD de alrededor de 0.003%. La realidad tiene colas más gordas. Así que KMV calcula la distancia al default dentro del modelo, luego tira $N(\cdot)$ a la basura y mapea la DD a frecuencia de incumplimiento usando su base de datos histórica de incumplimientos realizados. El output — EDF, Expected Default Frequency — es un modelo estructural vistiendo una calibración empírica. Ese diseño híbrido es la admisión honesta de que el ordenamiento de empresas que hace el modelo es mejor que sus probabilidades de cola.

El premio de toda la construcción: los EDFs se mueven con el mercado accionario, a diario. Cuando la acción de una empresa se desliza y su volatilidad se dispara, su EDF se deteriora meses antes de que una razón contable o una acción de calificación muestren nada. La velocidad es la killer feature del modelo estructural — al costo de heredar cada cambio de humor del mercado accionario, incluidas las falsas alarmas.

Black-Cox: incumplimiento antes del vencimiento

La empresa de Merton solo puede incumplir en la fecha de vencimiento — el valor de los activos puede visitar el cero en $t = T/2$ y recuperarse, y no ocurre ningún incumplimiento. Black y Cox (1976) lo arreglaron con un modelo de primer cruce (first-passage): el incumplimiento ocurre la primera vez que los activos tocan una barrera, en cualquier momento. Esto empata con cómo funcionan realmente los covenants y las cláusulas de cross-default, y estrictamente aumenta la PD respecto a Merton con los mismos parámetros (más oportunidades de morir). La matemática sube de una distribución de valor terminal a un problema de primer tiempo de cruce, pero conserva forma cerrada para una barrera constante o exponencial.

Leland: haciendo endógena la estructura de capital

Todo lo anterior toma el nivel de deuda como dado. Leland (1994) cierra el círculo: deja que los accionistas elijan la barrera de default y el apalancamiento, balanceando el escudo fiscal de la deuda contra los costos de quiebra. De ahí sale una estructura de capital óptima, un disparador de default endógeno (los accionistas siguen inyectando capital mientras el valor de opción de continuar exceda el costo — y luego paran) y spreads de crédito que reflejan comportamiento estratégico en lugar de una barrera mecánica. Es el puente entre el riesgo de crédito y las finanzas corporativas propiamente dichas: el mismo modelo precia la deuda y explica por qué la empresa emitió justo esa cantidad.

Para qué sirven los modelos estructurales

Un marcador justo, sesenta años después:

Lo que mejor hacen: ordenar empresas públicas por calidad crediticia, alertas tempranas veloces, intuición de pricing (todo spread es una prima de put) y aportar el chasis conceptual de los modelos de portafolio — la fórmula IRB de Vasicek/Basilea del Módulo 10 es Merton aplicado a un portafolio completo.
Lo que peor hacen: niveles absolutos de PD directo de $N(-d_2)$ (calibra empíricamente, como hizo KMV), empresas privadas sin acciones cotizadas (de vuelta a las razones del Módulo 3), spreads de horizonte corto (los spreads reales a un mes nunca están cerca de cero — una difusión no puede saltar, así que el modelo dice que deberían estarlo) y cualquier caso donde la historia de la “barrera única de deuda” resulta demasiado burda — las financieras en especial.

Esa falla de los spreads cortos no es un detalle: es la observación que motiva a toda la siguiente familia de modelos, donde el incumplimiento llega como un salto gobernado por una intensidad, calibrada directamente a los spreads de mercado — Módulo 7: modelos de forma reducida.

Dónde conecta esto

Los scorecards del Módulo 2 y las razones del Módulo 3 son estadísticos; Merton es el primer modelo de la serie donde la PD se sigue de un argumento económico.
Las pruebas de estrés de los supervisores bancarios (Módulo 9) preguntan “¿qué le pasa al capital si el valor de los activos cae X%?” — una pregunta de Merton hecha con vocabulario regulatorio.
La versión unifactorial de Merton, aplicada a un portafolio de muchos acreditados, es la fórmula de capital IRB de Basilea — esa derivación es la pieza central del Módulo 10.

Pruébalo tú mismo

El notebook de abajo construye todo lo de este post desde cero en Python: la valuación Black-Scholes del capital de la empresa, la PD riesgo-neutral, la solución numérica estilo KMV para los no observables $V$ y $\sigma_V$ a partir de datos observables del capital, y un cálculo de distancia al default sobre un ejemplo trabajado — con gráficas de cómo responde la PD al apalancamiento y a la volatilidad. Cada función son unas cuantas líneas; nada se importa de una caja negra.

Modelo de Merton desde Cero (notebook de Jupyter)

Descarga gratuita, sin registro (archivo en inglés).

Descargar

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