Riesgo de Crédito de Portafolio: Correlación, Vasicek y la Fórmula de Basilea

Todo hasta ahora ha puesto precio a un acreditado a la vez. Pero nadie tiene un solo acreditado — los bancos tienen portafolios, y el riesgo de un portafolio no es la suma de sus partes. Diez mil créditos, cada uno con una PD de 2%, pueden producir un libro plácido que pierde cerca de 1% al año por siempre, o una bomba de tiempo que pierde 15% en un solo año malo — con estadísticas idénticas a nivel de crédito individual. La diferencia es un número: cuánto se mueven juntos los acreditados. Este módulo construye la maquinaria para ese número, y termina en la fórmula que decide cuánto capital debe tener casi cada banco sobre la tierra.

Concentración: el riesgo que sí puedes ver

El pecado visible de portafolio es la concentración, y viene en tres sabores: nombre único (un acreditado tan grande que su falla idiosincrática duele — la razón por la que los reguladores limitan las exposiciones grandes a una fracción del capital), sector (cien acreditados que en realidad son una sola apuesta al precio del petróleo o a los bienes raíces comerciales), y geográfica (el pecado original del banco regional — cada acreditado comparte una misma economía local). La concentración es medible sin nada más sofisticado que un índice de Herfindahl, y la cura — granularidad, diversificación entre nombres y sectores — es obvia aun cuando comercialmente duela.

El problema más profundo es que puedes construir un portafolio perfectamente granular y balanceado por sector y aun así ser destruido, porque la diversificación solo elimina el riesgo idiosincrático. Lo que queda es el riesgo que los acreditados comparten por vivir en la misma economía — y eso nos lleva a la correlación.

Correlación: el insumo que manda en la función

La correlación de incumplimiento (default) entre dos acreditados típicos de grado de inversión es diminuta — la probabilidad de incumplimiento conjunto puede ser de unos cuantos puntos base. La intuición dice que algo tan pequeño no puede importar. La intuición se equivoca, por una razón que vale la pena internalizar: con miles de acreditados hay millones de pares, y la cola del portafolio está impulsada por la suma de todo ese co-movimiento por pares, no por ningún par individual. Correlación pequeña × número enorme de pares = el driver dominante de las pérdidas extremas. En el simulador de abajo, mover ρ de 5% a 30% — con PD y LGD congeladas — multiplica varias veces la pérdida al 99.9%. Ningún otro insumo en crédito hace eso.

También es el insumo que peor medimos. Los incumplimientos son raros; los incumplimientos conjuntos son raros². Nadie tiene suficientes datos directos, así que todos estiman la correlación de forma indirecta: del co-movimiento de acciones (tomando prestada la lógica de Merton del Módulo 6 — si los incumplimientos los mueve el valor de los activos, correlación de activos ≈ lo que la correlación accionaria te deja inferir), de la co-migración de calificaciones (los datos de transición del Módulo 8), o de la dependencia cíclica de las tasas de incumplimiento realizadas. Las estimaciones no coinciden entre sí, y el modelo de portafolio se traga la que le des de comer. Recuerda esto la próxima vez que un modelo reporte un percentil 99.9 con cuatro cifras significativas.

CreditRisk+: la ruta actuarial

Una escuela de pensamiento respetable — CreditRisk+, publicado por Credit Suisse en 1997 — se niega a modelar por qué se correlacionan los incumplimientos. Toma prestada la caja de herramientas del seguro contra incendios: cada acreditado incumple con una probabilidad pequeña, los incumplimientos en un sector son Poisson-escos, y la correlación entra haciendo que las propias intensidades de Poisson sean aleatorias (un Poisson mezclado con gamma — los años malos son años en que la intensidad de todo el sector salió alta). La magia es analítica: sin Monte Carlo, distribución de pérdidas en forma cerrada vía funciones generadoras de probabilidad. Es la filosofía de forma reducida del Módulo 7 escalada a un portafolio, y sigue siendo popular donde la velocidad y la auditabilidad le ganan a la narrativa estructural.

El modelo de Vasicek: Merton, aplicado a todos a la vez

La ruta estructural ganó la discusión regulatoria, y merece el espacio. El resultado de Oldrich Vasicek de 1987 parte del cuadro de Merton y agrega un ingrediente: un solo factor común. El retorno (estandarizado) de los activos del acreditado $i$ es

donde $M$ es el estado de la economía (una realización por año, compartida por todos), $\varepsilon_i$ es ruido específico del acreditado, y $\rho$ es la correlación de activos. El acreditado $i$ incumple si $X_i < \Phi^{-1}(\text{PD})$ — exactamente el “activos por debajo de la barrera” de Merton, con la barrera calibrada a la PD correcta.

Ahora condiciona sobre el año. Dado que la economía sacó $M = m$, los incumplimientos se vuelven independientes (lo único que los acreditados compartían era $M$), y cada uno ocurre con probabilidad

Este es el motor de todo el modelo: en un buen año ($m$ alto), la PD condicional de todos es baja; en un mal año, la de todos sube junta. La correlación se ha convertido en una intensidad común — nota el parecido de familia con la intensidad aleatoria de CreditRisk+; las dos escuelas se encuentran a la mitad del camino.

El paso asintótico. Deja que el portafolio se vuelva infinitamente granular — miles de créditos, ninguno material. Condicional en $m$, la ley de los grandes números mata todo el ruido idiosincrático: la fracción de incumplimiento realizada es igual a $p(m)$ exactamente. La única aleatoriedad que queda es la economía misma. Una variable aleatoria, empujada a través de una función monótona — así que la distribución de pérdidas sale en forma cerrada:

Esa es la distribución de Vasicek — la distribución de pérdidas completa de un portafolio granular, a partir de dos parámetros. Juega con ella:

Tres experimentos que vale la pena correr. Baja ρ hacia 1%: la densidad colapsa en un pico en la EL — este es el sueño de la diversificación, pérdidas tan predecibles como una tabla actuarial. Empuja ρ a 40%: la densidad se embarra por todo el eje y le crece una larga cola derecha — misma EL, riesgo radicalmente distinto. Luego mantén todo fijo y cambia la confianza de 95% a 99.9%: observa cuánto más lejos salta el marcador de VaR con ρ alta que con ρ baja. La correlación no cambia lo que esperas perder; cambia lo que puedes perder.

ASRF y la fórmula IRB de Basilea

Basilea II necesitaba una fórmula con una propiedad específica e inusual: invarianza de portafolio. El cargo de capital de un crédito tenía que depender solo de las características de ese crédito — no de qué más hay en el portafolio — o la regla sería inoperable entre miles de bancos. Gordy (2003) demostró que esencialmente solo un modelo tiene esa propiedad: el marco Asymptotic Single Risk Factor — el modelo de Vasicek, tomado como regulación. Un factor, granularidad infinita; entonces la contribución de cada crédito a la pérdida del portafolio al 99.9% es simplemente su propia pérdida esperada condicional en el año malo del percentil 99.9:

Léela de izquierda a derecha: la tasa de pérdida en un año de 1-en-1,000, menos la pérdida esperada. La EL se resta porque — la lección más vieja del Módulo 1 — la pérdida esperada ya está en el precio del crédito; el capital existe para la parte no esperada. Multiplica $K$ por 12.5 (el recíproco del mínimo de 8%) y por la EAD, y tienes los activos ponderados por riesgo del Módulo 9. Los insumos IRB — PD, LGD, EAD — son del banco (scorecards del Módulo 2, calificaciones del Módulo 3); la fórmula y la correlación son del regulador.

¿De dónde saca ρ el regulador? Prescrita por clase de activo: los corporativos reciben un 12–24% dependiente de la PD (a las firmas de PD baja se les asume más sistemáticas — las grandes firmas seguras quiebran con la economía, las pequeñas y riesgosas quiebran solas), las hipotecas residenciales un 15% plano, el revolvente minorista que califica un 4%, con un ajuste por tamaño para las PyMEs. Un ajuste por plazo escala hacia arriba los cargos corporativos para créditos más largos (más tiempo para el riesgo de degradación — un efecto del Módulo 8 metido de contrabando en un modelo de un periodo). El libro de trabajo descargable implementa cada pieza con fórmulas vivas, incluyendo las funciones regulatorias exactas de ρ(PD) y de plazo, sobre un portafolio de créditos resuelto.

Dónde conecta esto

• La variable latente $X_i$ es el modelo de Merton del Módulo 6 con el balance abstraído; el truco de umbrales para migración (no solo incumplimiento) es el CreditMetrics del Módulo 8.
• La arquitectura de independencia condicional — correlaciona a través de un factor común, y entonces los incumplimientos son independientes dado el factor — es la idea más reutilizada de todo el crédito de portafolio. La vas a ver otra vez de inmediato en el Módulo 11, donde el factor gaussiano se vuelve una cópula gaussiana y sus colas delgadas se vuelven la crisis.
• El nivel de confianza de 99.9%, la maquinaria de RWA y la política del piso de output viven todos en el Módulo 9.

Pruébalo tú mismo

El libro de Excel de abajo construye todo el módulo en fórmulas auditables: una hoja de Vasicek (PD condicional dada la economía, la CDF de pérdidas en forma cerrada, VaR a cualquier confianza), y una hoja de IRB de Basilea con la función exacta de correlación corporativa ρ(PD), el ajuste por plazo b(PD), el capital por crédito K, y el RWA para un portafolio resuelto de ocho créditos. Cambia la PD de un crédito y observa cómo se mueve su cargo de capital; cambia la confianza de 99.9% a 99% y mira cuánto del requerimiento es cola pura.

Recibe los nuevos posts por correo

Un correo por cada artículo nuevo. Sin spam, sin ventas, cancela cuando quieras.