Cópulas, Dependencia de Colas y Riesgo de Contraparte

El Módulo 10 terminó con una confesión: la máquina de Vasicek — y la fórmula de Basilea construida sobre ella — asume que los acreditados están amarrados entre sí por un factor gaussiano. Este módulo trata de lo que esa palabra mete de contrabando, de por qué el supuesto contrabandeado es precisamente el que falla en las crisis, y de la familia de herramientas — las cópulas — que te deja elegir tu cola en vez de heredar una. Termina con la disciplina que administra la forma más personal de riesgo de crédito que tiene una mesa de trading: el riesgo de que tu propia contraparte falle, en el peor momento posible.

La correlación es un número; la dependencia es una forma

Aquí está el hecho incómodo que motiva todo: dos portafolios pueden tener correlación idéntica y comportamientos de colapso totalmente distintos. La correlación es un solo número — un co-movimiento promedio sobre toda la distribución. No dice nada sobre la región que de verdad temes: el extremo conjunto. Que los portafolios “diversificados” mueran juntos en la cola lo gobierna algo que la correlación no puede ver, llamado dependencia de colas:

— dado que un nombre está teniendo su peor resultado del q%, la probabilidad de que el otro también. Para la estructura de dependencia gaussiana, para cualquier correlación por debajo de 1, este límite es exactamente cero: empuja lo suficiente hacia la cola y los nombres gaussianos siempre, eventualmente, se diversifican. Para una estructura Student-t o Clayton, $\lambda_L > 0$: alguna fracción de los desastres de cada nombre son desastres compartidos, sin importar qué tan lejos mires. Misma correlación, distinta $\lambda_L$ — distinto mundo.

Velo antes de formalizarlo. Fija la fuerza de la dependencia y cambia de familia:

Observa la esquina roja. Gaussiana al 50%: un óvalo que se adelgaza hacia la esquina — los incumplimientos conjuntos ocurren, pero de mala gana. Student-t al mismo 50%: la esquina (y su espejo) se afila — existen años en los que a ambos nombres simplemente les está yendo terrible. Clayton: el agrupamiento vive solo en la esquina mala — exactamente la asimetría que exhibe el crédito, pues las firmas prosperan de forma idiosincrática pero quiebran juntas. El multiplicador de cola bajo la gráfica es el número que un modelador gaussiano subestima.

Cópulas: la dependencia como objeto separado y elegido

La matemática que hace preciso el “elige tu cola” es el teorema de Sklar (1959): cualquier distribución conjunta se separa limpiamente en sus marginales y una cópula — una función $C$ sobre $[0,1]^d$ que contiene toda la dependencia y nada más:

La consecuencia de ingeniería es enorme: puedes calibrar con cuidado la curva de PD marginal de cada nombre (de spreads — Módulo 7 — o de calificaciones o scorecards) y luego, en una decisión separada, escoger la cópula que las acopla. Las marginales responden “¿qué tan probable es cada incumplimiento?”; la cópula responde “¿ocurren en el mismo año?”

El zoológico, reducido a lo que un modelador de crédito necesita:

El modelo Vasicek/Basilea del Módulo 10 es exactamente la cópula gaussiana de un factor aplicada a indicadores de incumplimiento. Cada limitación que enumeramos allá ahora tiene un lenguaje más afilado: la fórmula regulatoria asume $\lambda_L = 0$ — cero dependencia de colas — como un hecho estructural sobre el mundo.

VaR de crédito por Monte Carlo: la receta de producción

Las formas cerradas terminan aquí; con portafolios realistas, exposiciones heterogéneas y cópulas no gaussianas, simulas. La receta que todo motor de crédito implementa:

1. Marginales: para cada uno de $N$ nombres, un umbral de incumplimiento a partir de su PD (y una estructura de plazos si es multi-periodo).
2. Sorteo de la cópula: un sorteo conjunto de $N$ uniformes dependientes por escenario — vía un modelo de factores (rápido: sortea $M$, luego ruido independiente) o una matriz de correlación completa (Cholesky).
3. Prueba de incumplimiento: el nombre $i$ incumple en el escenario si $u_i < \text{PD}_i$.
4. Pérdida: suma LGD × EAD sobre los incumplidos (sortea LGDs estocásticas aquí si las tienes — y nota que las LGDs suben en los años malos, una segunda correlación que la gente olvida).
5. Repite 100k–1M de veces; lee EL, VaR y expected shortfall de la distribución simulada.

El notebook descargable corre esto de punta a punta para un portafolio de 200 nombres bajo cópulas gaussiana y t con marginales y correlación idénticas — y luego asigna las pérdidas a tramos de una bursatilización, que es donde la elección de cópula deja de ser académica: la tasa de pérdida del tramo senior se mueve un orden de magnitud entre las dos cópulas. Guarda ese pensamiento.

2008: la fórmula que se comió a Wall Street

En 2000, David Li propuso poner precio a derivados de crédito de portafolio con la cópula gaussiana, calibrando la dependencia a los spreads de mercado. La fórmula era limpia, rápida, y se volvió el estándar de la industria para valuar tramos de CDO — títulos que son apuestas puras a la cópula. Un tramo senior pierde dinero solo si muchos nombres incumplen juntos; su valor entero es un enunciado sobre dependencia de colas.

La falla tuvo capas. La cópula gaussiana dice que los desastres conjuntos se vuelven cada vez más raros en la cola ($\lambda_L = 0$) — así que los tramos senior parecían casi libres de riesgo y fueron calificados en consecuencia (las agencias del Módulo 8, usando modelos similares, los bendijeron AAA). La dependencia se calibró a una muestra corta y benigna de datos de precios de vivienda en la que no ocurrían caídas nacionales. El único número de correlación se volvió una cotización negociada (“base correlation”), desprendiendo al modelo de cualquier significado físico. Y las hipotecas subyacentes compartían un factor — los precios nacionales de la vivienda — cuyo colapso correlacionó los incumplimientos mucho más allá de cualquier cosa que la ventana de calibración contuviera. Cuando los precios de la vivienda cayeron en todas partes a la vez, los eventos de cola conjunta que el modelo llamaba imposibles llegaron a granel, y los tramos senior “libres de riesgo” los absorbieron.

La lección honesta no es “la fórmula de Li estaba mal” — todos los modelos están mal. Es que los productos concentraban exactamente el riesgo que el modelo no podía representar. El punto ciego de un modelo de valuación se convirtió en la bodega del mercado. Cuando alguien te muestre un modelo, pregunta qué es lo que no puede decir, y luego revisa si la posición es una apuesta precisamente a eso.

Wrong-way risk y el alfabeto XVA

El riesgo de contraparte — el cuarto sabor del Módulo 1 — es donde el modelado de dependencia se vuelve personal. Cuando tienes un derivado que está in-the-money, tu contraparte te debe su valor de mercado; si incumple, ese valor es tu exposición. Dos cosas aleatorias ahora interactúan: cuánto te deben y si fallan.

El wrong-way risk es la correlación maligna entre las dos: la exposición es más grande exactamente cuando la contraparte tiene más probabilidad de incumplir. Cómprale puts de petróleo a un productor petrolero y la posición paga precisamente cuando tu contraparte se está muriendo; cómprale protección CDS (Módulo 7) sobre un banco a otro banco y 2008 entrega la misma lección. Modelarlo es, precisamente, un problema de cópula entre la exposición y el tiempo de incumplimiento — asume independencia y subestimas el riesgo exactamente donde muerde.

Los ajustes de valuación que crecieron de esto:

• CVA — Credit Valuation Adjustment: el precio de mercado de que tu contraparte te incumpla. Esquemáticamente, $\text{CVA} \approx (1-R)\sum_t D(t)\, \mathbb{E}[\text{exposición}(t)]\, \Delta\text{PD}(t)$ — exposición esperada descontada y ponderada por probabilidad de incumplimiento, es decir, la pata de protección del Módulo 7 con el perfil de exposición como nocional aleatorio. Desde Basilea III, los bancos mantienen capital contra la volatilidad del CVA — en 2008, cerca de dos tercios de las pérdidas de contraparte vinieron de rebajas de CVA sobre contrapartes que nunca incumplieron, solo se deterioraron.
• DVA — el espejo: el valor de tu propia opción de incumplirles a ellos. La contabilidad lo exige; los economistas sonríen con sorna ante registrar utilidad cuando tu propio crédito empeora.
• FVA — el costo de fondeo de cargar exposición no colateralizada.
• XVA — el paraguas conforme creció el alfabeto (MVA por margen, KVA por capital). Las mesas modernas cotizan derivados como valor libre de riesgo menos una pila de ajustes, cada uno un modelo de dependencia.

Dónde conecta esto

• El truco de factores debajo de todo motor de cópulas es la independencia condicional del Módulo 10, que es la lógica de Merton del Módulo 6 a escala de portafolio.
• Las curvas de PD marginales que alimentan la cópula vienen de spreads (Módulo 7), transiciones (Módulo 8) o scorecards (Módulo 2) — el teorema de Sklar es lo que permite que esos pipelines se mantengan separados de la decisión de dependencia.
• Si un modelo de machine learning puede hacerlo mejor que estas estructuras de dependencia especificadas a mano — y si alguien podría validarlo en caso de que sí — pertenece al Módulo 12.

Pruébalo tú mismo

El notebook de abajo simula un portafolio de 200 nombres bajo cópulas gaussiana y Student-t con marginales y correlación idénticas: distribuciones de pérdidas superpuestas, VaR y expected shortfall comparados, el multiplicador de cola cuantificado, y una bursatilización de tres tramos que muestra la sensibilidad del tramo senior a la cópula — el mecanismo de 2008 en treinta líneas de numpy. Los ejercicios lo extienden a Clayton vía la construcción de fragilidad gamma que usa el widget de arriba.

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